Народный артист России, профессор, один из самых выдающихся пианистов XX века. Родился в 1931 г. в Тбилиси. С 1938 по 1949 гг. занимался в классе А. Д. Вирсаладзе — воспитанницы профессора Петербургской консерватории А. Есиповой. В Московской консерватории и аспирантуре занимался у А. Б. Гольденвейзера. С 1957 по 1991 год преподавал в Московской консерватории, воспитал блистательную плеяду учеников и последователей. С 1991 г. Д. Башкиров — один из основателей Высшей школы музыки Королевы Софии в Мадриде, с 1992 — постоянный профессор Музыкальной академии в Италии («Como»), с 2008 г. — профессор «Chapelle Musical» Королевы Елизаветы в Брюсселе. Проводит мастер-курсы в городах Европы и Америки.

Среди учеников Д. Башкирова — видные музыканты, победители и призеры международных конкурсов, педагоги крупнейших высших учебных заведений: Д. Алексеев, Е. Башкирова, Б. Блох, А. Бондурянский, А. Володось, Дж. Гилад, К. Герштейн, М. Гуйяш, Н. Демиденко, В. Мищук, Н. Серегина, С. Юденич и др.

После победы Д. Башкирова на Международном конкурсе им. М. Лонг в Париже (1955 г.) его имя становится известным во всем мире. За полвека концертной деятельности пианист выступал в сотнях городов России и других стран с сольными концертами и с выдающимися оркестровыми коллективами и дирижерами. В 1965–1973 гг. выступал в лучших залах городов СССР, США, Германии, Канады, Австрии с «Трио московских солистов» — скрипачом И. Безродным и виолончелистом М. Хомицером.

Участник крупнейших Международных музыкальных фестивалей, член жюри многих Международных конкурсов. Им записаны десятки пластинок и CD. Музыкант удостоен высшей испанской награды за заслуги в области культуры и образования — «Ордена короля Альфонса X», Почетной медали Мадридского университета, Почетной медали Р. Шумана, Почетного знака Рурского фестиваля пианистов (Германия), звания Почетного профессора (Honoris causa) Шанхайской консерватории (Китай). Артист Steinway.